Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les valeurs propres.

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Étape 1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique

$p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$

Étape 1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille

$4$ est la matrice carrée

$4 \times 4$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs connues dans

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez

$A$ par

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] - λ I_{4})$

Étape 1.3.2

Remplacez

$I_{4}$ par

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez

$- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.4.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.5

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.5.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.5.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.7.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.8.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.9

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.9.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.9.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.10

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.10.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.10.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.11

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.12

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.12.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.12.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.13

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.13.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.13.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.14

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.14.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.14.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.15

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.15.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.15.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.16

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.1

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.3

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.4

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.5

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.6

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.7

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.8

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.9

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.10

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.11

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.12

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 - λ \end{array}]$

Étape 1.5

Find the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.5.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.9

The minor for

$a_{14}$ is the determinant with row

$1$ and column

$4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 2 - λ \\ 0 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 1.5.1.10

Multiply element

$a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 2 - λ \\ 0 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 2 - λ \\ 0 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 1.5.2

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 2 - λ \\ 0 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 1.5.3

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 2 - λ \\ 0 & 1 & 0 \end{array} |$

Étape 1.5.4

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 2 - λ \\ 0 & 1 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$2$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.5.5.1.3

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.4

Multiply element

$a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.5

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.6

Multiply element

$a_{22}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.7

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.8

Multiply element

$a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (2 - λ) (0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + (2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.2

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.3

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) ((1 - λ) (1 - λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.4.2.1.1

Développez

$(1 - λ) (1 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.4.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.4.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.4.2.1.2.1.1

Multipliez

$1$ par

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.4.2.1.2.1.2

Multipliez

$- λ$ par

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.4.2.1.2.1.3

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - λ - λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.4.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.4.2.1.2.1.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.4.2.1.2.1.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.4.2.1.2.1.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.4.2.1.2.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - λ - λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.4.2.1.2.1.7

Multipliez

$λ^{2}$ par

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - λ - λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.4.2.1.2.2

Soustrayez

$λ$ de

$- λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.4.2.1.3

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} - 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.4.2.2

Associez les termes opposés dans

$1 - 2 λ + λ^{2} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.4.2.2.1

Soustrayez

$1$ de

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (- 2 λ + λ^{2} + 0) + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.4.2.2.2

Additionnez

$- 2 λ + λ^{2}$ et

$0$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (- 2 λ + λ^{2}) + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.4.2.3

Remettez dans l’ordre

$- 2 λ$ et

$λ^{2}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (0 + (2 - λ) (λ^{2} - 2 λ) + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.5.1

Associez les termes opposés dans

$0 + (2 - λ) (λ^{2} - 2 λ) + 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.5.1.1

Additionnez

$0$ et

$(2 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 2 λ) + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.5.1.2

Additionnez

$(2 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ et

$0$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.5.2

Développez

$(2 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) (2 (λ^{2} - 2 λ) - λ (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} + 2 (- 2 λ) - λ (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} + 2 (- 2 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.5.3.1.1

Multipliez

$- 2$ par

$2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.5.3.1.2

Multipliez

$λ$ par

$λ^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.5.3.1.2.1

Déplacez

$λ^{2}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.5.3.1.2.2

Multipliez

$λ^{2}$ par

$λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.5.3.1.2.2.1

Élevez

$λ$ à la puissance

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.5.3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.5.3.1.2.3

Additionnez

$2$ et

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - λ^{3} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.5.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.5.3.1.4

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.5.3.1.4.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ)) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.5.3.1.4.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.5.3.1.5

Multipliez

$- 1$ par

$- 2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - λ^{3} + 2 λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.5.3.2

Additionnez

$2 λ^{2}$ et

$2 λ^{2}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 λ^{2} - 4 λ - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.5.4

Déplacez

$- 4 λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 λ^{2} - λ^{3} - 4 λ) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.5.5.5

Remettez dans l’ordre

$4 λ^{2}$ et

$- λ^{3}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ) + 0 + 0 + 0$

Étape 1.5.6

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.6.1

Associez les termes opposés dans

$(2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ) + 0 + 0 + 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.6.1.1

Additionnez

$(2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ)$ et

$0$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ) + 0 + 0$

Étape 1.5.6.1.2

Additionnez

$(2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ)$ et

$0$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ) + 0$

Étape 1.5.6.1.3

Additionnez

$(2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ)$ et

$0$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ)$

Étape 1.5.6.2

Développez

$(2 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 2 (- λ^{3}) + 2 (4 λ^{2}) + 2 (- 4 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

Étape 1.5.6.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.6.3.1

Multipliez

$- 1$ par

$2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 2 (4 λ^{2}) + 2 (- 4 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

Étape 1.5.6.3.2

Multipliez

$4$ par

$2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} + 2 (- 4 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

Étape 1.5.6.3.3

Multipliez

$- 4$ par

$2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ - λ (- λ^{3}) - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

Étape 1.5.6.3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

Étape 1.5.6.3.5

Multipliez

$λ$ par

$λ^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.6.3.5.1

Déplacez

$λ^{3}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

Étape 1.5.6.3.5.2

Multipliez

$λ^{3}$ par

$λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.6.3.5.2.1

Élevez

$λ$ à la puissance

$1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

Étape 1.5.6.3.5.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

Étape 1.5.6.3.5.3

Additionnez

$3$ et

$1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

Étape 1.5.6.3.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + 1 λ^{4} - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

Étape 1.5.6.3.7

Multipliez

$λ^{4}$ par

$1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - λ (4 λ^{2}) - λ (- 4 λ)$

Étape 1.5.6.3.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 1 \cdot 4 λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ)$

Étape 1.5.6.3.9

Multipliez

$λ$ par

$λ^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.6.3.9.1

Déplacez

$λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 1 \cdot 4 (λ^{2} λ) - λ (- 4 λ)$

Étape 1.5.6.3.9.2

Multipliez

$λ^{2}$ par

$λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.6.3.9.2.1

Élevez

$λ$ à la puissance

$1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 1 \cdot 4 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 4 λ)$

Étape 1.5.6.3.9.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 1 \cdot 4 λ^{2 + 1} - λ (- 4 λ)$

Étape 1.5.6.3.9.3

Additionnez

$2$ et

$1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 1 \cdot 4 λ^{3} - λ (- 4 λ)$

Étape 1.5.6.3.10

Multipliez

$- 1$ par

$4$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 4 λ^{3} - λ (- 4 λ)$

Étape 1.5.6.3.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 4 λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ \cdot λ$

Étape 1.5.6.3.12

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.6.3.12.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 4 λ^{3} - 1 \cdot - 4 (λ \cdot λ)$

Étape 1.5.6.3.12.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 4 λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ^{2}$

Étape 1.5.6.3.13

Multipliez

$- 1$ par

$- 4$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} - 4 λ^{3} + 4 λ^{2}$

Étape 1.5.6.4

Soustrayez

$4 λ^{3}$ de

$- 2 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 8 λ^{2} - 8 λ + λ^{4} + 4 λ^{2}$

Étape 1.5.6.5

Additionnez

$8 λ^{2}$ et

$4 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - 8 λ + λ^{4}$

Étape 1.5.6.6

Déplacez

$- 8 λ$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} + λ^{4} - 8 λ$

Étape 1.5.6.7

Déplacez

$12 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + λ^{4} + 12 λ^{2} - 8 λ$

Étape 1.5.6.8

Remettez dans l’ordre

$- 6 λ^{3}$ et

$λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - 8 λ$

Étape 1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à

$0$ pour déterminer les valeurs propres

$λ$ .

$λ^{4} - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - 8 λ = 0$

Étape 1.7

Résolvez

$λ$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.7.1.1

Factorisez

$λ$ à partir de

$λ^{4} - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - 8 λ$ .

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Étape 1.7.1.1.1

Factorisez

$λ$ à partir de

$λ^{4}$ .

$λ \cdot λ^{3} - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - 8 λ = 0$

Étape 1.7.1.1.2

Factorisez

$λ$ à partir de

$- 6 λ^{3}$ .

$λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2}) + 12 λ^{2} - 8 λ = 0$

Étape 1.7.1.1.3

Factorisez

$λ$ à partir de

$12 λ^{2}$ .

$λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2}) + λ (12 λ) - 8 λ = 0$

Étape 1.7.1.1.4

Factorisez

$λ$ à partir de

$- 8 λ$ .

$λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2}) + λ (12 λ) + λ \cdot - 8 = 0$

Étape 1.7.1.1.5

Factorisez

$λ$ à partir de

$λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2})$ .

$λ (λ^{3} - 6 λ^{2}) + λ (12 λ) + λ \cdot - 8 = 0$

Étape 1.7.1.1.6

Factorisez

$λ$ à partir de

$λ (λ^{3} - 6 λ^{2}) + λ (12 λ)$ .

$λ (λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ) + λ \cdot - 8 = 0$

Étape 1.7.1.1.7

Factorisez

$λ$ à partir de

$λ (λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ) + λ \cdot - 8$ .

$λ (λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ - 8) = 0$

Étape 1.7.1.2

Factorisez

$λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ - 8$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.7.1.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme

$\frac{p}{q}$ où

$p$ est un facteur de la constante et

$q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 1.7.1.2.2

Déterminez chaque combinaison de

$\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Étape 1.7.1.2.3

Remplacez

$2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à

$0$ donc

$2$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.7.1.2.3.1

Remplacez

$2$ dans le polynôme.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Étape 1.7.1.2.3.2

Élevez

$2$ à la puissance

$3$ .

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Étape 1.7.1.2.3.3

Élevez

$2$ à la puissance

$2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

Étape 1.7.1.2.3.4

Multipliez

$- 6$ par

$4$ .

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

Étape 1.7.1.2.3.5

Soustrayez

$24$ de

$8$ .

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

Étape 1.7.1.2.3.6

Multipliez

$12$ par

$2$ .

$- 16 + 24 - 8$

Étape 1.7.1.2.3.7

Additionnez

$- 16$ et

$24$ .

$8 - 8$

Étape 1.7.1.2.3.8

Soustrayez

$8$ de

$8$ .

$0$

Étape 1.7.1.2.4

Comme

$2$ est une racine connue, divisez le polynôme par

$λ - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ - 8}{λ - 2}$

Étape 1.7.1.2.5

Divisez

$λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ - 8$ par

$λ - 2$ .

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Étape 1.7.1.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de

$0$ .

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$12 λ$

$8$

Étape 1.7.1.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

$λ^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

$λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$

Étape 1.7.1.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

Étape 1.7.1.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

$λ^{3} - 2 λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

Étape 1.7.1.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$

Étape 1.7.1.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$

Étape 1.7.1.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

$- 4 λ^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

$λ$ .

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$

Étape 1.7.1.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$

Étape 1.7.1.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

$- 4 λ^{2} + 8 λ$

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$

Étape 1.7.1.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$

Étape 1.7.1.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$	-	$8$

Étape 1.7.1.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

$4 λ$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

$λ$ .

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$4$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$	-	$8$

Étape 1.7.1.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$4$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$	-	$8$
							+	$4 λ$	-	$8$

Étape 1.7.1.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

$4 λ - 8$

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$4$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$	-	$8$
							-	$4 λ$	+	$8$

Étape 1.7.1.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$4$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$12 λ$	-	$8$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$4 λ$	-	$8$
							-	$4 λ$	+	$8$
										$0$

Étape 1.7.1.2.5.16

Comme le reste est

$0$ , la réponse finale est le quotient.

$λ^{2} - 4 λ + 4$

Étape 1.7.1.2.6

Écrivez

$λ^{3} - 6 λ^{2} + 12 λ - 8$ comme un ensemble de facteurs.

$λ ((λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 4)) = 0$

Étape 1.7.1.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.7.1.3.1

Réécrivez

$4$ comme

$2^{2}$ .

$λ ((λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 2^{2})) = 0$

Étape 1.7.1.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 λ = 2 \cdot λ \cdot 2$

Étape 1.7.1.3.3

Réécrivez le polynôme.

$λ ((λ - 2) (λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 1.7.1.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où

$a = λ$ et

$b = 2$ .

$λ ((λ - 2) {(λ - 2)}^{2}) = 0$

Étape 1.7.1.4

Associez les facteurs similaires.

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Étape 1.7.1.4.1

Élevez

$λ - 2$ à la puissance

$1$ .

$λ ((λ - 2) {(λ - 2)}^{2}) = 0$

Étape 1.7.1.4.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$λ {(λ - 2)}^{1 + 2} = 0$

Étape 1.7.1.4.3

Additionnez

$1$ et

$2$ .

$λ {(λ - 2)}^{3} = 0$

Étape 1.7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

$0$ , l’expression entière sera égale à

$0$ .

$λ = 0$

${(λ - 2)}^{3} = 0$

Étape 1.7.3

Définissez

$λ$ égal à

$0$ .

$λ = 0$

Étape 1.7.4

Définissez

${(λ - 2)}^{3}$ égal à

$0$ et résolvez

$λ$ .

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Étape 1.7.4.1

Définissez

${(λ - 2)}^{3}$ égal à

$0$ .

${(λ - 2)}^{3} = 0$

Étape 1.7.4.2

Résolvez

${(λ - 2)}^{3} = 0$ pour

$λ$ .

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Étape 1.7.4.2.1

Définissez le

$λ - 2$ égal à

$0$ .

$λ - 2 = 0$

Étape 1.7.4.2.2

Ajoutez

$2$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 2$

Étape 1.7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$λ {(λ - 2)}^{3} = 0$ vraie.

$λ = 0, 2$

Étape 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

Étape 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 0$ .

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez

$0$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez

$0$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.3

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.4

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.5

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.6

Multipliez

$0$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.7

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.8

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.9

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.10

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.11

Multipliez

$0$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.12

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.13

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.14

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.15

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.16

Multipliez

$0$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.2

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.3

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.4

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.5

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.6

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.7

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.8

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.9

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.10

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.11

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.12

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.13

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.14

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.15

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.16

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.3

Find the null space when

$λ = 0$ .

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Étape 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{1}{2}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{1}{2}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Perform the row operation

$R_{4} = R_{4} - R_{2}$ to make the entry at

$4, 2$ a

$0$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{4} = R_{4} - R_{2}$ to make the entry at

$4, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3

Multiply each element of

$R_{3}$ by

$\frac{1}{2}$ to make the entry at

$3, 3$ a

$1$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Multiply each element of

$R_{3}$ by

$\frac{1}{2}$ to make the entry at

$3, 3$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} = 0$

$x_{2} + x_{4} = 0$

$x_{3} = 0$

$0 = 0$

Étape 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ - x_{4} \\ 0 \\ x_{4} \end{array}]$

Étape 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Étape 3.3.6

Write as a solution set.

${x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | x_{4} \in R}$

Étape 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 2$ .

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Étape 4.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez

$- 2$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez

$- 2$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez

$- 2$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.3

Multipliez

$- 2$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.4

Multipliez

$- 2$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.5

Multipliez

$- 2$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.6

Multipliez

$- 2$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.7

Multipliez

$- 2$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.8

Multipliez

$- 2$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.9

Multipliez

$- 2$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.10

Multipliez

$- 2$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.11

Multipliez

$- 2$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.12

Multipliez

$- 2$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.13

Multipliez

$- 2$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.14

Multipliez

$- 2$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.15

Multipliez

$- 2$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.16

Multipliez

$- 2$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 2 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Soustrayez

$2$ de

$2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.2

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.3

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.4

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 - 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.5

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.6

Soustrayez

$2$ de

$1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.7

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.8

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.9

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.10

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.11

Soustrayez

$2$ de

$2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.12

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.13

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.14

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 + 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.15

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.16

Soustrayez

$2$ de

$1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Étape 4.3

Find the null space when

$λ = 2$ .

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Étape 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 4.3.2.1

Swap

$R_{2}$ with

$R_{1}$ to put a nonzero entry at

$1, 2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- 1$ to make the entry at

$1, 2$ a

$1$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- 1$ to make the entry at

$1, 2$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 0 & - - 1 & - 0 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3

Perform the row operation

$R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at

$4, 2$ a

$0$ .

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Étape 4.3.2.3.1

Perform the row operation

$R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at

$4, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & - 1 + 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3.2

Simplifiez

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{2} - x_{4} = 0$

$0 = 0$

Étape 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{4} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}]$

Étape 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{1} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Étape 4.3.6

Write as a solution set.

${x_{1} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{1}, x_{3}, x_{4} \in R}$

Étape 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Étape 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$